Smerodajná odchýlka v rulete
Druhá odmocnina rozptylumatematikaRozptylMiera toho, ako široko sa výsledky rozptyľujú okolo očakávanej hodnoty. Vysoký pri plnom čísle, nízky pri stávkach na jednoduché šance.Čítať celé →: typická vzdialenosť medzi výsledkom a jeho očakávanou hodnotou.
Na $1 stávky je σ 5,84 pri plnom čísle a 1,00 pri červenej. Pre sedenie ju vynásobte výškou stávky a druhou odmocninou počtu spinov.
Orientačné pravidlo
Asi dve tretiny sedení skončia do jednej σ od očakávanej hodnoty a 95% do dvoch. Pri 100 spinoch na červenústávkaČervenáStávka na jednoduchú šancu na 18 červených čísel. Po francúzsky: rouge.Čítať celé → po $10 (očakávaná hodnota −$27, σ = $100) skončí väčšina sedení medzi −$127 a +$73 a takmer všetky medzi −$227 a +$173. Výsledok mimo tohto rozpätia nedokazuje nič okrem toho, že sa to stáva jednému sedeniu z dvadsiatich.
Prečo √N
Očakávaná stratamatematikaOčakávaná strataOčakávaná hodnota krát celková stavená suma; priemerná suma stratená za sedenie alebo za obdobie.Čítať celé → rastie úmerne s N; rozpätie výsledkov rastie úmerne s √N. Pri malom N prevažuje rozpätie a sedenia sú hodom mincou s miernym náklonom. Pri veľkom N strata rozpätie predbehne. Hranica, pri ktorej sa očakávaná strata rovná jednej smerodajnej odchýlkematematikaSmerodajná odchýlkaDruhá odmocnina rozptylu; typická vzdialenosť výsledku od očakávanej hodnoty.Čítať celé →, leží pri N = (σ/výhoda)² = (1/0,027)² ≈ 1 370 spinov pre jednoduché šance a (5,84/0,027)² ≈ 46 800 pre plné číslastávkaPlné čísloJediné číslo, vypláca 35:1.Čítať celé → (straight up). Pod týmito hranicami rozhoduje šťastie; nad nimi výhoda kasína.
Ako ju použiť
Ak chcete posúdiť, či bolo sedenie nezvyčajné, vypočítajte (výsledok − EV)/σ. Hráč, ktorý stavia $10 na červenú a po 100 spinoch skončí na +$150, je na (150 + 27)/100 = 1,77σ, teda pri výsledku, ktorý nastane raz z 25 prípadov: šťastie, nič pozoruhodné. Hráč na plné čísla s tými istými +$150 je na 0,3σ: obyčajný večer. Ten istý výsledok v dolároch znamená pri rôznych stávkach rôzne veci.
Štandardná chyba podielu
Tá istá aritmetika vám povie, koľko spinov treba, aby sa výhoda kasína ukázala v dátach. Štandardná chyba pozorovaného podielu výhier je √(p(1 − p)/N). Pre červenú pri N = 1 000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. Rozdiel medzi férovou mincou a červenou je 1,35%, takže ani po 1 000 spinoch ich s istotou nerozlíšite. Po 10 000 je štandardná chyba 0,5% a rozlíšite ich. Aj preto si odhalenie vychýlenia kolesa vyžaduje toľko spinov.
Pozor na zošikmenie
Výsledky stávok na plné číslo majú v krátkom sedení ďaleko od normálneho rozdelenia: väčšina sedení je stály výsledok −$10 na spin s občasnými skokmi o +$350. Pravidlo ±1σ opisuje rozpätie správne, ale tvar zle, kým N nedosiahne stovky. Pri stávkach na jednoduché šancestávkaStávka na jednoduchú šancuČervená/čierna, nepárne/párne, vysoké/nízke čísla. 18 čísel, vypláca 1:1.Čítať celé → je normálna aproximácia dobrá približne od 30 spinov.
Vzorec
Otázky
Je dôkazom, že ste odohrali asi 40 sedení, alebo ste boli v tom šťastnom jednom zo štyridsiatich. Zopakujte to.
Kolíše čoraz menej: štandardná chyba priemeru je σ/√N. Pri N = 10 000 je to 1% stávky.
Matematika pre radosť
Skúste ich najprv sami. Každé riešenie je skryté; rozbaľte ho, keď budete pripravení.
Počas 100 spinov európskeho kolesa je jedna jednotkapeniazeJednotkaZákladná stávka, v ktorej systém alebo hráč počíta. Progresie sa opisujú v jednotkách, aby platili pri akomkoľvek stole.Čítať celé → na červenejstávkaČervenáStávka na jednoduchú šancu na 18 červených čísel. Po francúzsky: rouge.Čítať celé → v zisku pri aspoň 51 výhrach a jedna jednotka na plnom čísle (straight up)stávkaPlné čísloJediné číslo, vypláca 35:1.Čítať celé → je v zisku, ak jej číslo padne aspoň 3-krát. Odhadnite obe pravdepodobnosti pomocou Gaussovej krivky a potom ich porovnajte s presnými odpoveďami.
Zobraziť riešenie
Odpoveď Červená: Gaussova krivka dáva 35,6% a presná odpoveď je 35,5%. Plné číslo: Gaussova krivka dáva 55,0% a presná odpoveď je 50,9%. Skratka funguje pre červenú a zlyháva pre jedno číslo.
Červená: výhier je v priemere 100 × 18/37 = 48,6 so smerodajnou odchýlkou √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. V zisku znamená 51 alebo viac; polovičná hranica 50,5 je 0,37 smerodajnej odchýlky nad priemerom a Gaussova krivka nad ňou dáva 35,6%. Súčet presných pravdepodobností 51, 52 … 100 výhier dáva 35,5%.
Plné číslo: zásahov je v priemere 100/37 = 2,70 so smerodajnou odchýlkou √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Tri alebo viac zásahov znamená nad 2,5, čo je 0,12 smerodajnej odchýlky pod priemerom: 55,0% podľa Gaussovej krivky. Presne je to 1 mínus pravdepodobnosti 0, 1 a 2 zásahov, 6,5% + 17,9% + 24,7%, čo necháva 50,9%.
Gaussova krivka potrebuje dosť výsledkov na oboch stranách priemeru. Červená ich po 100 spinoch má; číslo, ktoré padne v priemere menej ako trikrát, nie. Krivka dokonca dáva 8,7% pre „žiadny zásah“, kde skutočná pravdepodobnosť je 6,5%. Taylor (2021) stavia binomické rozdelenie a Gaussovu krivku vedľa seba rovnakým spôsobom.
Na odľahčenie
Jedno sedenie z dvadsiatich je mimo dvoch sigma. Niekto je vždy na chvoste.
Zdroje
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.