Riziko krachu
Pravdepodobnosť, že prídete o celý bankroll (peniaze vyhradené na hru) skôr, ako dosiahnete cieľ.
Pri stávkach na jednoduché šance sa riziko krachu riadi vzorcom pre krach hráča. S bankrollom $500, stávkami po $10 a cieľom $600 dosiahnete cieľ asi v 57% prípadov a vo zvyšných prídete o všetko.
Otázka
Máte a jednotiekpeniazeJednotkaZákladná stávka, v ktorej systém alebo hráč počíta. Progresie sa opisujú v jednotkách, aby platili pri akomkoľvek stole.Čítať celé → bankrollupeniazeBankrollCelková suma vyhradená na hru. Správa bankrollu znamená rozhodnúť, koľko z nej riskovať na jednu stávku a na jedno sedenie.Čítať celé → a chcete sa dostať na a + b jednotiek, pričom stavíte vždy jednu jednotku na stávku na jednoduchú šancustávkaStávka na jednoduchú šancuČervená/čierna, nepárne/párne, vysoké/nízke čísla. 18 čísel, vypláca 1:1.Čítať celé → s pravdepodobnosťoumatematikaPravdepodobnosťMiera možnosti, že nastane určitý výsledok, od 0 do 1 alebo od 0% do 100%. Jedno číslo: 1/37 = 2,70%.Čítať celé → výhry p = 18/37 a pravdepodobnosťou prehry q = 19/37. Aká je pravdepodobnosť, že dosiahnete cieľ skôr, ako klesnete na nulu? Odpoveď vypracovali Pascal, Fermat a Huygens v 50. rokoch 17. storočia a patrí k najstarším výsledkom teórie pravdepodobnosti.
Vzorec pre krach hráča
P(dosiahnutie cieľa) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Riziko krachumatematikaRiziko krachuPravdepodobnosť, že prehráte celý bankroll skôr, než dosiahnete cieľ alebo určený počet spinov.Čítať celé → je jedna mínus táto hodnota. Pri q/p = 19/18 ≈ 1,0556 rastie pomer exponenciálne s počtom jednotiek, takže vzorec malé jednotky tvrdo trestá: čím viac stávok treba na dosiahnutie cieľa, tým viackrát sa cestou zaplatí mýto 2,70%.
Ako to čítať
Menšie jednotky škodia. Pokus zdvojnásobiť $500 stávkami po $10 vyjde v 6% prípadov; jedinou stávkou $500 vyjde v 48,6% prípadov. Odvážna hra, teda menej a väčších stávok, maximalizuje pravdepodobnosť dosiahnutia cieľa v hre so zápornou očakávanou hodnotou, pretože minimalizuje počet uplatnení výhody kasína. Zároveň maximalizuje rozptylmatematikaRozptylMiera toho, ako široko sa výsledky rozptyľujú okolo očakávanej hodnoty. Vysoký pri plnom čísle, nízky pri stávkach na jednoduché šance.Čítať celé → toho, čo sa s vami stane, a večer rýchlo skončí. Veta sa volá „odvážna hra je optimálna“ (bold play is optimal) a dokázali ju Dubins a Savage v roku 1965.
Kde sa problém začal
Otázka je staršia ako ruleta. V roku 1656 zadal Pascal Fermatovi hádanku: dvaja hráči hádžu tromi kockami a každý začína s 12 žetónmi; hod 11 posunie žetón jedným smerom, hod 14 druhým. Obaja ju vyriešili a Huygens, ktorý sa o nej dozvedel z listu matematika Pierra de Carcavi, ju v roku 1657 uverejnil ako piatu úlohu prvej knihy o pravdepodobnosti, s odpoveďou a bez dôkazu. Jedenástka sa dá hodiť 27 spôsobmi a štrnástka len 15, takže každý žetón sa posunie v prospech prvého hráča 9-krát zo 14 a podľa vzorca vyššie, s 12 žetónmi na každej strane, je asi 1 157-krát pravdepodobnejšie, že vyhrá všetko, než že všetko prehrá. Výhoda kasína 2,70% je oveľa menšia, ale ten istý vzorec ukazuje, čo robí počas mnohých stávok.
Skutočná odvážna stávka
V apríli 2004 predal Ashley Revell, mladý Angličan, takmer všetko, čo vlastnil, vrátane oblečenia, a so sumou $135 300 odišiel do hotela Plaza v Las Vegas. Po niekoľkých malých stávkach stavil celú sumu na červenústávkaČervenáStávka na jednoduchú šancu na 18 červených čísel. Po francúzsky: rouge.Čítať celé →, jediný raz. GuľôčkavybavenieGuľôčkaMalá guľôčka vypúšťaná po dráhe proti smeru rotora. Moderné guľôčky sú z ivorínu alebo teflónu, 18–21 mm.Čítať celé → padla na červenú 7 a odišiel s $270 600. Na kolese s dvojitou nuloukolesoNulaJediná zelená priehradka, ktorú nepokrýva žiadna stávka na jednoduchú šancu, tucet ani stĺpec; zdroj výhody kasína. Tiež: jednoduchá nula, 0.Čítať celé → mal tento jediný spin pravdepodobnosť 47,37% a stál ho v priemere $7 121, čo je výhoda kasína 5,26% na jednu stávku. Rozložený na stávky po $10 by bol ten istý cieľ takmer beznádejný. Odvážna hra z tejto stávky dobrú stávku nerobí; robí ju čo najkratšou.
Riziko krachu bez cieľa
Ak jednoducho hráte, kým neprídete o všetko, alebo skončíte po N spinoch, otázka znie „aká je pravdepodobnosť, že môj bankroll počas N spinov klesne na nulu?“. Pre všeobecné N neexistuje uzavretý vzorec, ale simulátory na tejto stránke to vypočítajú: bankroll $500 pri stávkach po $10 na červenú počas 100 spinov takmer nikdy nepríde o všetko (menej ako 1%), počas 500 spinov asi v 9% prípadov a počas 5 000 spinov asi v 95%. Bez pravidla na skončenie sa pravdepodobnosť blíži k 100%, a to je dlhodobá podoba výhody kasínamatematikaVýhoda kasínaPodiel z každej stávky, ktorý si kasíno v priemere ponechá: 2,70% v európskej rulete.Čítať celé →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- medián −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Ako dlho a ako ďaleko v zisku
Dva ďalšie klasické výsledky odpovedajú na otázky, ktoré si hráči naozaj kladú. Bez cieľa vydržia rovnaké stávky na jednoduché šance v priemere 37 spinov na každú jednotku bankrollu na európskom kolese a 19 na americkom, pretože každý spin vezme v priemere 1/37 jednotky (1/19 na americkom kolese): 100 jednotiek vydrží v priemere 3 700 spinov, hoci polovica takých sedení skončí do 3 134 (pozrite Dĺžka a cena sedenia). A nech je bankroll akokoľvek veľký, pravdepodobnosť, že sa na európskom kolese niekedy dostanete o k jednotiek do zisku, je (18/19)ᵏ. Pri jednej jednotke je to 95% a pri desiatich 58%, ale žiadny bankroll, akokoľvek hlboký, nedáva ani polovičnú pravdepodobnosť, že sa niekedy dostanete 13 jednotiek do zisku; na americkom kolese je pravdepodobnosť (9/10)ᵏ a pri 7 jednotkách klesne pod polovicu.
Bankroll na šancu pol na pol
Otočte otázku: koľko si musíte priniesť, aby ste mali aspoň polovičnú pravdepodobnosť vyhrať danú sumu skôr, ako prídete o všetko? Pri malej výhre nie veľa. Pri väčšej potrebný bankroll prudko stúpa a od istého bodu nestačí žiadny bankroll, pretože aj nekonečný dáva menej ako polovičnú pravdepodobnosť, že sa niekedy dostanete tak ďaleko do zisku. Taylor (2021) to hovorí inak: ak chcete mať na americkom kolese polovičnú pravdepodobnosť dosiahnuť 100 jednotiek, musíte začať s 94, teda riskovať 94, aby ste vyhrali 6. Na európskom kolese by ste potrebovali 88.
Praktické ponaučenie
Rozhodnite sa, o čo sa snažíte. Ak je cieľom konkrétna výhra, stavte vysoko a zriedka. Ak je cieľom dlhý večer, stavte nízko a zmierte sa s tým, že výhoda kasína si vezme svojich 2,70% z veľkého obratupeniazeObratCelková suma stavená za sedenie alebo za obdobie vrátane znova stavených výhier. Tiež: handle, action.Čítať celé →. Ak chcete oboje, niečo musí ustúpiť, a zvyčajne je to cieľ.
Vzorec
Otázky
MartingalestratégiaMartingaleProgresia, ktorá po každej prehre stávku zdvojnásobí. Čo robí a čo nerobí, nájdete v sekcii Stratégie.Čítať celé → ho pri krátkych sedeniach znižuje a pri dlhých dramaticky zvyšuje. Poctivý spôsob, ako ho znížiť, sú rovnaké stávkystratégiaRovnaké stávkyStávkovanie rovnakej sumy v každom spine. Základ, s ktorým sa porovnáva každá progresia.Čítať celé → (flat betting) s väčšou jednotkou.
Vzorec vyššie platí pre jednoduché šance. Pri stávkach s vysokým rozptylom je krach pri malých stávkach pravdepodobnejší a cieľ sa dosahuje nerovnomernejšie; použite kalkulačku.
Každý krok k cieľu je o niečo menej pravdepodobný ako každý krok ku krachu; pomer sa násobí s počtom krokov.
Matematika pre radosť
Skúste ich najprv sami. Každé riešenie je skryté; rozbaľte ho, keď budete pripravení.
Máte $100 a chcete $1 000, pričom staviate len na červenústávkaČervenáStávka na jednoduchú šancu na 18 červených čísel. Po francúzsky: rouge.Čítať celé →. Plán jeden: staviť po $1. Plán dva: staviť všetko, čo máte, kým neprekročíte $500, potom len toľko, aby ste dosiahli $1 000. Ktorý plán je lepší a o koľko?
Zobraziť riešenie
Odpoveď Plán dva, a to výrazne. Dosiahne $1 000 asi v 9,0% prípadov, blízko spravodlivých 10%. Plán jeden uspeje asi 7-krát z 10²².
V spravodlivej hrematematikaSpravodlivá hraHra, v ktorej žiadna strana nemá výhodu: každá stávka má očakávanú hodnotu nula.Čítať celé → by ste zo $100 dosiahli $1 000 raz z desiatich prípadov, nech by ste robili čokoľvek, pretože priemerná hodnota vašich peňazí zostáva $100.
Výhoda kasína vezme 2,70% z každej stávky, takže čím menej celkovo stavíte, tým bližšie zostanete k jednej z desiatich. Plán dva rozhodne vec niekoľkými stávkami: zo $100 bude $200, $400, $800 a potom stačí $200. Uspeje asi v 9,0% prípadov. Plán jeden potrebuje tisíce stávok, kým sa prechádzka skončí, a výhoda kasína, malá pri každej z nich, sa nasčíta na takmer istý krach.
To je výsledok Dubinsa a Savagea v najjednoduchšej podobe (Epstein, 2013): v hre, ktorá zvýhodňuje kasíno, stavte toľko, koľko potrebujete, a čo najmenejkrát.
Máte $500 a chcete $1 000; prestanete, len čo ich máte. Vyberiete si jeden druh stávky a opakujete ho, kým raz nevyhrá alebo nedôjdu peniaze. Ktorý druh dáva najväčšiu šancu?
Zobraziť riešenie
Odpoveď Jedna stávka $500 na červenú: 48,6%. Každý plán, ktorý rozloží peniaze na menšie stávky, dopadne horšie.
Zvoľte každú stávku tak, aby stačila jedna výhra: $30 na plné číslo (straight up)stávkaPlné čísloJediné číslo, vypláca 35:1.Čítať celé → vyhrá $1 050, $60 na dvojicu (split)stávkaDvojicaDve susedné čísla, vypláca 17:1.Čítať celé → vyhrá $1 020 a tak ďalej. Potom spočítajte pravdepodobnosť, že aspoň jedna stávka vyhrá skôr, než dôjdu peniaze. Šestnásť stávok po $30 na plné číslo minie všetky s pravdepodobnosťou (36/37)¹⁶ = 64,5%, takže $1 000 dosiahnu v 35,5% prípadov.
Tabuľka ukazuje každú stávku. Červená dopadne najlepšie, pretože tam dôjde jednou stávkou, takže výhodu kasína zaplatíte raz, z $500. Šestica (six line)stávkaŠesticaŠesť čísel v dvoch susedných radoch, vypláca 5:1. Po francúzsky: sixain.Čítať celé → je druhá, pretože potrebuje len tri. Jediná stávka na tucetstávkaTucet1–12, 13–24 alebo 25–36, vypláca 2:1.Čítať celé → je najhoršia, šanca 12/37; aj keď ju hráte po $250 jednotkáchpeniazeJednotkaZákladná stávka, v ktorej systém alebo hráč počíta. Progresie sa opisujú v jednotkách, aby platili pri akomkoľvek stole.Čítať celé →, kým nemáte $1 000 alebo viac, tucet tam dôjde len v 46,4% prípadov.
Bollman (2024) zostavuje tú istú tabuľku pre americké koleso. V jeho riadku pre tucet je chyba: má tam byť 12/38 = 31,6%.
stávkavýška stávky × počet stávokpravdepodobnosť dosiahnutia $1 000Plné číslo$30 × 1635,5%Dvojica$60 × 835,9%Trojica$90 × 534,5%Štvorica$125 × 436,7%Šestica$166, $166, $16841,2%Tucet$500 × 132,4%Červená$500 × 148,6%Staviate jednu jednotku na červenú, spin za spinom, s bankrollompeniazeBankrollCelková suma vyhradená na hru. Správa bankrollu znamená rozhodnúť, koľko z nej riskovať na jednu stávku a na jedno sedenie.Čítať celé →, ktorý nikdy nedôjde. Po prvom spine ste o jednu jednotku v zisku alebo o jednu so stratou. Aká je pravdepodobnosť, že sa niekedy znova dostanete presne na nulu?
Zobraziť riešenie
Odpoveď 36 z 37, 97,3%. Na americkom kolese 36 z 38, 94,7%.
Ak prvý spin vyhrá (18-krát z 37), ste o jednu jednotku v zisku a výhoda kasína ťahá každé nekonečné sedenie nadol, takže skôr či neskôr prejdete späť cez nulu: to je isté. Ak prehrá (19-krát z 37), musíte vystúpiť o jednu jednotku a pravdepodobnosť, že sa niekedy dostanete o jednu jednotku do zisku, je 18/19 (pozri tabuľku vyššie).
Spolu: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Všeobecne je pravdepodobnosť 1 mínus rozdiel medzi pravdepodobnosťou výhry a prehry v spine: 1 − 1/37 na európskom kolese, 1 − 2/38 na americkom. V hre bez nulykolesoNulaJediná zelená priehradka, ktorú nepokrýva žiadna stávka na jednoduchú šancu, tucet ani stĺpec; zdroj výhody kasína. Tiež: jednoduchá nula, 0.Čítať celé → je rozdiel nulový a pravdepodobnosť je 1: skóre sa vždy vráti na nulu. Epstein (2013) uvádza všeobecné pravidlo.
Pascalova úloha z roku 1656: dvaja hráči hádžu tromi kockami, každý začína s 12 žetónmi. Každý súčet 11 presunie jeden žetón k prvému hráčovi, každý súčet 14 jeden k druhému; ostatné hody sa nerátajú. Aká je pravdepodobnosť, že prvý hráč získa všetkých 24? A ak namiesto toho staviate 1 jednotku na červenú pri každom spine proti priateľovi, ktorý robí bank, každý s 12 jednotkami, aká je pravdepodobnosť, že získate všetkých 24?
Zobraziť riešenie
Odpoveď Prvý hráč vyhrá asi 1 157-krát z 1 158. Vy na červenej získate všetkých 24 jednotiek len asi v 34% prípadov.
Tri kocky dajú súčet 11 v 27 prípadoch a 14 v 15 prípadoch, takže každý presunutý žetón ide k prvému hráčovi 27-krát zo 42, teda 9-krát zo 14. Ak každá strana začína s 12, pravdepodobnosť, že získa všetko, je 1/(1 + r¹²), kde r je pomer pravdepodobnosti druhej strany k vašej.
Pre prvého hráča je r = 5/9 a (5/9)¹² ≈ 0,00086, takže pravdepodobnosť je asi 0,99914: pomer šancí 9¹² ku 5¹², teda 282 429 536 481 ku 244 140 625, asi 1 157 ku 1. Huygens vytlačil presne tieto čísla v roku 1657.
Na červenej je r = 19/18 kvôli nule a (19/18)¹² ≈ 1,913: vaša pravdepodobnosť je 1/2,913 ≈ 34,3%. Minca by dala 50%. Výhoda kasína 2,70% pri každej stávke sa počas mnohých potrebných stávok nasčíta na rozdiel 16 percentuálnych bodov.
Na odľahčenie
Odvážna hra je optimálna. A tiež sa rýchlo skončí.
Zdroje
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. List Huygensovi z 28. septembra 1656 o úlohe, ktorú Pascal zadal Fermatovi.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”