Pravdepodobnosť šnúr v rulete
Dlhé šnúry jednej farby sú bežné. A pre ďalší spin nič neznamenajú.
Päť červených za sebou: 2,7%. Desať: 0,074%. Počas sedenia s 200 spinmi sa šnúra šiestich rovnakej farby objaví častejšie, než sa neobjaví.
Ako často prichádza šnúra prehier
Stávka na jednoduchú šancu na kolese s jednou nulou prehrá 19 spinov z 37. Každý riadok ukazuje pravdepodobnosť, že daná šnúra spinov celá prehrá, a koľko dovtedy stratil hráč so systémom Martingale, ktorý po každej prehre zdvojnásobí stávku.
| prehry za sebou | pravdepodobnosť | približne 1 z | doterajšia strata | ďalšia stávka |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1 023 | $1 024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2 047 | $2 048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4 095 | $4 096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8 191 | $8 192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
Pravdepodobnosť je 19/37 vynásobená samou sebou raz za každú prehru, počítané od jedného daného spinu. Dlhé sedenie má veľa spinov, od ktorých sa takáto šnúra môže začať, takže za jeden večer je oveľa pravdepodobnejšia, než naznačuje jeden riadok.
Jedna šnúra
PravdepodobnosťmatematikaPravdepodobnosťMiera možnosti, že nastane určitý výsledok, od 0 do 1 alebo od 0% do 100%. Jedno číslo: 1/37 = 2,70%.Čítať celé →, že nasledujúcich k spinov padne samá červenástávkaČervenáStávka na jednoduchú šancu na 18 červených čísel. Po francúzsky: rouge.Čítať celé →, je (18/37)ᵏ. Dva: 23,7%. Päť: 2,7%. Desať: 0,074%, asi 1 z 1 350. Dvadsať: 1 z 1,8 milióna. Dvadsaťšesť, rekord z Monte Carla: 1 zo 137 miliónov. To sú pravdepodobnosti konkrétnej šnúry, ktorá začína konkrétnym spinom, a na to sa v skutočnosti takmer nikto nepýta.
Počas sedenia
Ľudia sa v skutočnosti pýtajú „objaví sa niekde v mojom sedení šnúra dĺžky k?“ a odpoveď je oveľa väčšia ako (18/37)ᵏ, pretože sedenie s 200 spinmi ponúka takmer 200 miest, kde môže šnúra začať. Šnúra šiestich alebo viacerých rovnakej farby, červenej alebo čiernejstávkaČiernaStávka na jednoduchú šancu na 18 čiernych čísel. Po francúzsky: noir.Čítať celé →, sa v sedení s 200 spinmi objaví asi v 94% prípadov; ôsmich alebo viacerých asi v 47%; desiatich alebo viacerých asi v 14%. Ak farbu určíte vopred, pravdepodobnosti klesnú, asi na 75%, 27% a 7%. Hráč, ktorý presedí pri stole celý večer, uvidí dlhé šnúry každý večer.
Prečo na tom záleží pri systéme Martingale
Každá záporná progresiastratégiaProgresiaKaždé pravidlo, ktoré mení stávku podľa predchádzajúcich výsledkov. Záporné progresie ju zvyšujú po prehrách, kladné po výhrach.Čítať celé → má dĺžku šnúry, ktorá ju zlomí: šesť prehier pri základe $10 a limite $500, desať pri systéme FibonaccistratégiaFibonacciProgresia, ktorá sleduje postupnosť 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: po prehre jeden krok dopredu, po výhre dva kroky späť.Čítať celé →, päť pri strojnásobovaní na tuctystávkaTucet1–12, 13–24 alebo 25–36, vypláca 2:1.Čítať celé →. Pravdepodobnosť šnúry šiestich prehier na jednoduchej šanci je (19/37)⁶ ≈ 1,8% na pokus a sedenie s 200 spinmi obsahuje možno 100 pokusov, takže zlom príde zhruba v štyroch sedeniach takej dĺžky z piatich. Pravdepodobnosti šnúr sú dôvod, prečo útes nie je zriedkavý.
Horúce a studené čísla
Tá istá aritmetika platí pre plné číslastávkaPlné čísloJediné číslo, vypláca 35:1.Čítať celé → (straight up). Za 300 spinov je očakávaný počet zásahov na číslo 8,1; smerodajná odchýlkamatematikaSmerodajná odchýlkaDruhá odmocnina rozptylu; typická vzdialenosť výsledku od očakávanej hodnoty.Čítať celé → je asi 2,8. Niektoré číslo bude mať čisto náhodou 15 zásahov a niektoré 2, a to zakaždým. Tabuľa výsledkov, ktorá zvýrazňuje „horúce“ čísla, zvýrazňuje horný okraj normálneho rozdelenia. Laboratórium vysvetľuje, koľko spinov treba, kým horúce číslomýtusHorúce čísloČíslo, ktoré v poslednom čase padlo častejšie, než sa očakáva. Na férovom kolese nič nepredpovedá.Čítať celé → niečo znamená (tisíce, z jedného konkrétneho kolesa).
Nezávislosť je podstata veci
Šnúra desiatich červených nerobí čiernu pravdepodobnejšou a nerobí pravdepodobnejšou ani červenú. Obe majú 18/37. Šnúry sú vlastnosťou náhodných postupností a podozrivá by bola skôr ich absencia: postupnosť 200 spinov bez jedinej šnúry dlhšej ako štyri by bola oveľa silnejším dôkazom manipulácie ako postupnosť so šnúrou dvanástich.
Vzorec
Otázky
Známa je šnúra 26 čiernych v Monte Carle 18. augusta 1913. V roku 1943 hlásili z jedného amerického kasína 32 červených za sebou. Obe sú v súlade s náhodou, keď vezmete do úvahy, koľko spinov kasína odohrajú.
V oboch prípadoch je to 18/37. Stavte to, čo hovorí váš plán, alebo nič.
Nie. Vychýlenie sa prejavuje tak, že niektoré priehradkyvybaveniePriehradkaJeden z 37 očíslovaných oddielov na rotore. Tiež: slot, cup.Čítať celé → padajú počas tisícov spinov častejšie, nie šnúrami jednej farby.
Matematika pre radosť
Skúste ich najprv sami. Každé riešenie je skryté; rozbaľte ho, keď budete pripravení.
Koľko spinov európskeho kolesa treba v priemere, kým každé z 37 čísel padne aspoň raz?
Zobraziť riešenie
Odpoveď V priemere asi 155 spinov; medián je 147.
Rátajte čakanie po jednom novom čísle. Prvý spin vždy ukáže nové číslo. Keď ste videli 1 číslo, 36 priehradokvybaveniePriehradkaJeden z 37 očíslovaných oddielov na rotore. Tiež: slot, cup.Čítať celé → z 37 je nových, takže ďalšie nové číslo trvá v priemere 37/36 spinu. Keď ste videli k čísel, trvá to 37/(37 − k).
Sčítajte čakania: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 spinu.
Väčšina z toho pripadá na koniec. Samotné posledné číslo trvá v priemere 37 spinov a posledných päť asi 85. Na americkom kolese dáva ten istý súčet asi 161. Ide o problém zberateľa kupónov (coupon collector’s problem); Wizard of Odds uvádza rovnaký priemer.
Koľko rôznych čísel môžete očakávať v 37 spinoch európskeho kolesa, teda jednom spine na každú priehradku?
Zobraziť riešenie
Odpoveď Asi 23,6. Zhruba tretina čísel, asi 13, nepadne vôbec.
Vezmite jedno číslo, napríklad 17. Pri každom spine nepadne s pravdepodobnosťou 36/37, takže všetkých 37 spinov minie s pravdepodobnosťou (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Každé číslo má rovnakú pravdepodobnosť, takže v priemere 37 × 0,363 ≈ 13,4 čísla chýba a 37 − 13,4 ≈ 23,6 padne, mnohé z nich dvakrát alebo viackrát.
Hráči rulety to volajú zákon tretín. Nie je to žiadny zákon, len aritmetika opakovaní: v šnúre dlhej ako koleso asi tretina čísel vynechá, na férovom kolese rovnako ako na akomkoľvek inom. Pri 38 priehradkách je podiel tiež (37/38)³⁸ ≈ 0,363; pri veľkom kolese sa ustáli blízko 1/e ≈ 0,368.
Priateľ vám ukáže dva zoznamy 50 farieb, červenejstávkaČervenáStávka na jednoduchú šancu na 18 červených čísel. Po francúzsky: rouge.Čítať celé → alebo čiernejstávkaČiernaStávka na jednoduchú šancu na 18 čiernych čísel. Po francúzsky: noir.Čítať celé →, vraj z kolesa, pri ktorom sa nulykolesoNulaJediná zelená priehradka, ktorú nepokrýva žiadna stávka na jednoduchú šancu, tucet ani stĺpec; zdroj výhody kasína. Tiež: jednoduchá nula, 0.Čítať celé → vynechali. Jeden mení farbu 25-krát a jeho najdlhšia šnúra má šesť. Druhý mení farbu 35-krát a nikdy nemá šnúru dlhšiu ako tri. Ktorý je vymyslený?
Zobraziť riešenie
Odpoveď Druhý. Skutočný zoznam mení farbu asi 24- alebo 25-krát. Zoznam s 35 zmenami sa objaví asi raz z 500 zoznamov a zoznam bez šnúry dlhšej ako tri asi dvakrát zo 100.
Každá nová farba buď zopakuje predchádzajúcu, alebo sa zmení, pol na pol, takže 49 príležitostí na zmenu dá v priemere 24,5 zmeny, plus mínus asi 3,5. Tridsaťpäť je o tri také kroky nad priemerom; férové koleso vytvorí toľko zmien asi raz z 500 zoznamov.
Šnúry hovoria to isté. Skutočný zoznam 50 farieb má šnúru štyroch alebo viac asi v 98% prípadov a jeho najdlhšia šnúra má najčastejšie päť alebo šesť.
Ľudia, ktorých požiadate, aby vymysleli náhodný zoznam, menia farbu príliš často, pretože šnúra štyroch alebo piatich im pripadá ako vzor. Taylor (2021) ukazuje ten istý príznak v zoznamoch hodov mincou, ktoré vymysleli študenti: skutočná náhoda má viac šnúr, než ľudia čakajú.
Kniha kasínových príbehov rozpráva o hráčovi, ktorého číslo padlo päťkrát za sebou, a nazýva to rekordom. Aké zriedkavé je to na európskom kolese? A ako často by sa to malo stať niekde v jednom kasíne s 20 stolmi, kde každý roztočí 40-krát za hodinu, vo dne v noci?
Zobraziť riešenie
Odpoveď Vopred určené číslo päťkrát za sebou: 1 z 69 miliónov. Akékoľvek číslo, ktoré po prvom páde padne ešte štyrikrát: 1 z 1,87 milióna. To kasíno roztočí asi 7 miliónov spinov ročne, takže by malo vidieť šnúru piatich tri- alebo štyrikrát do roka.
Vopred určené číslo padne pri každom spine s pravdepodobnosťou 1/37, takže päť za sebou má pravdepodobnosť (1/37)⁵ = 1 z 69 343 957. Lenže nikto číslo vopred neurčí. Nech padne čokoľvek, nasledujúce štyri spiny ho musia zopakovať: (1/37)⁴ = 1 z 1 874 161.
20 stolov × 40 spinov × 24 hodín × 365 dní = 7 008 000 spinov ročne. Každý spin môže začať šnúru, takže kasíno očakáva 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 šnúry piatich ročne.
Žiadny oficiálny rekord tohto druhu neexistuje a ani netreba: zriedkavá udalosť pri jednom stole je v celom kasíne bežná a príbehy sa rozprávajú o stole, kde sa stala. Príbeh u Goldmana (2007) sa odohráva na kolese s dvoma nulami, kde sú čísla 1 z 79 miliónov a 1 z 2,09 milióna.
Na odľahčenie
Dlhé šnúry sú presne to, ako vyzerá náhoda.
Zdroje
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.