Hráčsky omyl
Presvedčenie, že výsledok „musí padnúť“, pretože sa už dlho neobjavil.
Po desiatich červených je pravdepodobnosť čiernej stále 18/37. Koleso si nič nezapisuje a nikomu nič nedlží.
Omyl
Keď červenástávkaČervenáStávka na jednoduchú šancu na 18 červených čísel. Po francúzsky: rouge.Čítať celé → padla desaťkrát, mnohí hráči majú pocit, že čiernastávkaČiernaStávka na jednoduchú šancu na 18 čiernych čísel. Po francúzsky: noir.Čítať celé → „musí padnúť“, a podľa toho stavia. Iní majú pocit, že červená je „horúca“, a stavia na ňu. Jedni aj druhí usudzujú z postupnosti, ktorá sa už skončila, na spin, ktorý sa ešte nestal. GuľôčkavybavenieGuľôčkaMalá guľôčka vypúšťaná po dráhe proti smeru rotora. Moderné guľôčky sú z ivorínu alebo teflónu, 18–21 mm.Čítať celé → nevie, aké bolo posledných desať spinov; priehradkyvybaveniePriehradkaJeden z 37 očíslovaných oddielov na rotore. Tiež: slot, cup.Čítať celé → sú rovnako veľké ako pred hodinou; pravdepodobnosťmatematikaPravdepodobnosťMiera možnosti, že nastane určitý výsledok, od 0 do 1 alebo od 0% do 100%. Jedno číslo: 1/37 = 2,70%.Čítať celé → čiernej je 18/37, ako bola vždy.
Prečo sa zdá pravdivý
Z dlhodobého hľadiska sa podiely červenej a čiernej naozaj blížia k 18/37. Zaručuje to zákon veľkých číselmatematikaZákon veľkých číselPriemer nezávislých výsledkov konverguje k očakávanej hodnote, keď počet pokusov rastie.Čítať celé →. Toto približovanie však prebieha zriedením, nie nápravou: po ďalších 1 000 spinoch je desať červených navyše v podiele len zaokrúhľovacou chybou, a to nie preto, že by čierna dobehla, ale preto, že vzorka narástla. Neexistuje mechanizmus, ktorý by čiernu robil pravdepodobnejšou, a zákon veľkých čísel žiadny nepotrebuje.
Monte Carlo, 18. augusta 1913
Pri jednom stole v Casino de Monte-Carlo padla čierna 26-krát za sebou. Približne od pätnástej čiernej sa hráči hrnuli na červenú, zdvojovali a znova zdvojovali stávky a každý spin sa im zdal „istejší“ ako predchádzajúci. Kasíno vyhralo milióny frankov. Šnúra mala od prvej čiernej pravdepodobnosť 1 zo 137 miliónov a pravdepodobnosť, že sa niekedy niekde v kasínach sveta stane, bola prakticky jedna. Preto sa hráčskemu omylu (gambler’s fallacy) hovorí aj omyl z Monte Carla.
Nič zvláštne. Stáva sa raz zo 44 prípadov.
Hráči si to začínajú všímať. Červená „musí padnúť“.
Pri stole je tlačenica. Stávky na červenú sa po každej prehre zdvojujú.
Prehrané majetky. Každá ďalšia čierna robí červenú zdanlivo istejšou.
Šnúra končí. Kasíno vyhralo milióny frankov od ľudí, ktorí stavili proti šnúre, ktorá nemohla „vedieť“, že je šnúrou.
Horúca ruka
Stavať na farbu preto, že má šnúru, je tá istá chyba obrátená naruby: od šnúry sa čaká, že bude pokračovať, a nie že skončí. Psychológovia to nazývajú horúca rukamýtusHorúca rukaPresvedčenie, že šnúra výhier alebo jedného výsledku robí ďalší pravdepodobnejším. Pri kolese je to hráčsky omyl obrátený naruby.Čítať celé → (hot hand) podľa štúdie Gilovicha, Vallonea a Tverského z roku 1985, ktorá hľadala šnúry pri streľbe v basketbale a nenašla nič nad rámec náhody. V roku 2018 Miller a Sanjurjo ukázali, že samotný test bol naklonený: v krátkom zázname vychádza podiel zásahov hneď po zásahu v priemere nižší ako celková úspešnosť strelca, takže hráč bez akejkoľvek horúcej ruky vyzerá mierne studený. Po oprave tie isté dáta ukazujú miernu horúcu ruku. Človek sa môže rozohrať; koleso žiadnu formu nemá. Niektorí hráči veria oboje naraz: že šnúra pokračuje, kým nie je „príliš dlhá“, a potom skončí. Na férovom kolese má každá verzia rovnakú očakávanú hodnotumatematikaOčakávaná hodnotaPriemerný výsledok na jednu stávku z dlhodobého hľadiska. Pri každej štandardnej európskej stávke −1/37 stávky.Čítať celé → ako výber farby hodom mincou: −2,70% stávky.
Pri skutočnom stole
Croson a Sundali (2005) sledovali 18 hodín záznamov z bezpečnostných kamier pri jednom stole s dvojitou nuloukolesoNulaJediná zelená priehradka, ktorú nepokrýva žiadna stávka na jednoduchú šancu, tucet ani stĺpec; zdroj výhody kasína. Tiež: jednoduchá nula, 0.Čítať celé → vo veľkom kasíne v Rene: 139 hráčov a 24 131 stávok. Pri stávkach na jednoduché šancestávkaStávka na jednoduchú šancuČervená/čierna, nepárne/párne, vysoké/nízke čísla. 18 čísel, vypláca 1:1.Čítať celé → sa hráči delili zhruba rovnomerne na tých, ktorí nasledovali krátke šnúry, a tých, ktorí stavili proti nim. Po piatich rovnakých výsledkoch za sebou sa prikláňali proti šnúre a po šiestich a viacerých smerovalo 85% ich stávok na opačnú stranu. Tí istí hráči prejavovali horúcu ruku vo vzťahu k sebe: po výhre na číslach pokryli v ďalšom spine v priemere 13,6 čísla, kým po prehre 9,2. Ich koleso nevykazovalo žiadne známky vychýlenia, takže nič z toho nezmenilo, čo mohol ktokoľvek z nich očakávať.
Mimo kasína
Ten istý ťah sa objavuje aj tam, kde sa robia skutočné rozhodnutia. Clotfelter a Cook (1993) sledovali dennú číselnú lotériu v Marylande: suma stavená na číslo prudko klesla hneď, ako bolo vyžrebované, a trvalo mesiace, kým sa vrátila, hoci žrebovanie nemá pamäť. Chen, Moskowitz a Shue (2016) ho našli u profesionálov. Americkí sudcovia rozhodujúci o azyle zamietli žiadosť s pravdepodobnosťou až o 3,3 percentuálneho bodu vyššou, ak tú predchádzajúcu schválili. Baseballoví rozhodcovia odpískali strike s pravdepodobnosťou o 1,5 bodu nižšou, ak ho práve odpískali, a pri tesných nadhodoch o viac než dvojnásobok. V terénnom experimente s úverovými úradníkmi platenými paušálnou odmenou sa takto otočilo až 9% rozhodnutí. Prípady prichádzali v náhodnom poradí, takže posledné rozhodnutie nehovorilo nič o ďalšom, rovnako ako posledný spin nehovorí nič o ďalšom.
Obrátený hráčsky omyl
Filozof Ian Hacking (1987) pomenoval tretiu verziu. Niekto vojde do miestnosti, uvidí, ako na dvoch kockách padne dvojitá šestka, a usúdi, že sa s nimi už určite hádzalo veľakrát. Každý hod má rovnakú pravdepodobnosť dvojitej šestky, či je to prvý hod večera, alebo tisíci, takže to, čo videl, nehovorí nič o tom, ako dlho hra trvá. V rulete je to hráč, ktorý príde k tabuli výsledkov s ôsmimi červenými a usúdi, že sa pri stole muselo točiť celé hodiny, aby ich vytvoril. Bežný omyl premieta minulosť do ďalšieho spinu; tento premieta zriedkavý pohľad do minulosti, ktorú nikto nevidel.
Psychológ, ktorý mu veril
Omyl mal aj učených obhajcov. Nemecký psychológ Karl Marbe prešiel štyri matriky, každú so 49 152 narodeniami, zistil, že najdlhšia šnúra chlapcov alebo dievčat za sebou mala 17, a usúdil, že dlhé šnúry sú zriedkavejšie, než pripúšťa náhoda, takže šnúra robí opačný výsledok pravdepodobnejším. Samotná náhoda hovorí niečo iné: medzi 196 608 narodeniami sa šnúra 17 alebo viac objaví asi v štyroch prípadoch z piatich. Marbe našiel presne to, ako vyzerá náhodná postupnosť. Prípad prerozpráva Epstein (2013); ruletovú verziu nájdete na stránke Pravdepodobnosť šnúr.
Kedy omyl neplatí
Keby bolo koleso fyzicky vychýlené, minulé spiny by niečo prezrádzali, pretože by boli dôkazom o priehradkách, a nie o šťastí. To je téma Laboratória a vyžaduje tisíce spinov z jedného konkrétneho kolesa, aby sa dalo niečo povedať. Pri šnúre desiatich červených na neznámom kolese je vysvetlenie vychýlením oveľa menej pravdepodobné ako vysvetlenie náhodou.
Otázky
Nie. Platí pre akúkoľvek nezávislú opakovanú udalosť: kocky, mince, čísla v lotérii.
Podiely sa k sebe priblížia. Váš výsledok bude aj tak asi −2,70% z toho, čo ste stavili.
Žiadny zákon priemerov neexistuje. Existuje zákon veľkých čísel a ten funguje zriedením.
Matematika pre radosť
Skúste ich najprv sami. Každé riešenie je skryté; rozbaľte ho, keď budete pripravení.
Po 10 hodoch ukazuje minca 7 hláv a 3 znaky. Po 1 000 hodoch ukazuje 517 hláv a 483 znakov. Dobehli znaky hlavy?
Zobraziť riešenie
Odpoveď Nie. Rozdiel narástol zo 4 na 34. K vyrovnanosti sa priblížil len pomer.
Pomer hláv a znakov klesol zo 7/3, asi 2,33, na 517/483, asi 1,07. To je zákon veľkých číselmatematikaZákon veľkých číselPriemer nezávislých výsledkov konverguje k očakávanej hodnote, keď počet pokusov rastie.Čítať celé → v praxi.
Rozdiel medzi nimi narástol, zo 4 na 34. Pri férovej minci je rozdiel okolo 30 po 1 000 hodoch bežný: typický rozdiel rastie zhruba s druhou odmocninou počtu hodov, kým pomer sa ustaľuje pri 1.
Nič nepritiahlo znaky späť. Počiatočný prebytok hláv sa ďalšími 990 hodmi zriedil, nie opravil.
Hoďte mincou štyrikrát a pozerajte sa len na hody, ktoré nasledujú hneď po hlave. Aký podiel z nich sú hlavy? Vypočítajte to pre každú zo 16 možných postupností a spriemerujte podiely. Je to 50%?
Zobraziť riešenie
Odpoveď Nie. Je to 17/42, asi 40,5%. Pri takomto pohľade sa zdá, že férová minca po hlave vychladne.
Vypíšte 16 postupností (H = hlava, Z = znak). Dve z nich, ZZZZ a ZZZH, nemajú medzi prvými tromi hodmi hlavu, takže po hlave nič nenasleduje; zostáva 14.
V každej vezmite hody, ktoré nasledujú po hlave, a zistite, aký podiel z nich sú hlavy. HHHH dáva 3 z 3. HHHZ dáva 2 z 3. HZHZ dáva 0 z 2. Po prejdení všetkých 14: šesť postupností dáva 0, štyri 1/2, jedna 2/3 a tri 1 (HHHH, ZHHH a ZZHH).
Sčítajte podiely: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Vydeľte 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Žiadny hod nezvýhodňuje znak; každý je 50 na 50. Sklon vzniká priemerovaním postupnosť po postupnosti: postupnosť plná hláv má veľa hodov na posúdenie, ale počíta sa raz, rovnako ako postupnosť s jediným. Miller a Sanjurjo (2018) ukázali, že štúdia o horúcej ruke z roku 1985 merala svojich basketbalistov práve takto, takže hráči, ktorí sa nezdali náchylnejší na šnúry, ako zodpovedá náhode, na ne v skutočnosti boli o niečo náchylnejší.
Na odľahčenie
Zriedenie, nie náprava. Koleso nikomu nič nedlží.
Zdroje
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”