Úloha: narodeninové koleso
Po koľkých spinoch sa niektoré číslo zopakuje? Po oveľa menšom počte, než väčšina ľudí odhaduje.
Narodeninový problém na kolese s 37 priehradkamivybaveniePriehradkaJeden z 37 očíslovaných oddielov na rotore. Tiež: slot, cup.Čítať celé →: už po 8 spinoch je pravdepodobnosť vyššia než polovičná, že sa niektoré číslo objavilo dvakrát. Hráči čítajú opakovania ako vzorce; sú to však očakávané správanie férového kolesa.
Úloha
Roztáčajte férové európske koleso. Po koľkých spinoch prekročí pravdepodobnosťmatematikaPravdepodobnosťMiera možnosti, že nastane určitý výsledok, od 0 do 1 alebo od 0% do 100%. Jedno číslo: 1/37 = 2,70%.Čítať celé →, že aspoň dva spiny ukázali rovnaké číslo, jednu polovicu? Väčšina hráčov tipuje okolo 18 alebo 19, polovicu z 37. Odpoveď je 8.
Riešenie
Vypočítajte pravdepodobnosť, že sa nič nezopakuje, a odčítajte ju od jednej. Po k spinoch p(všetky rôzne) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Pre k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, takže p(nejaké opakovanie) ≈ 0,56. Pre k = 14 je to 0,93; pre k = 20 je to 0,996. Intuícia zlyháva, pretože počet dvojíc spinov rastie ako k² a zhodovať sa môže ktorákoľvek dvojica.
Prečo na tom pri stole záleží
Tabuľa výsledkov s poslednými 20 číslami takmer vždy ukáže aspoň jedno opakovanie, často dve či tri. Hráči vidia „17 padla dvakrát za desať spinov“ a usúdia, že 17 je horúca; narodeninová aritmetika hovorí, že opakovanie v rámci desiatich spinov nastane v 74% prípadov a zopakované číslo je náhodné. Vzorec je skutočný; význam nie.
Nadväzujúca úloha
Po koľkých spinoch sa konkrétne číslo, povedzme 17, objaví dvakrát? To je iná otázka s oveľa väčšou odpoveďou: očakávané čakanie je 74 spinov a pravdepodobnosť dvoch 17 v rámci 20 spinov je asi 10%. Rozdiel medzi „nejaké číslo sa zopakuje“ (8 spinov) a „toto číslo sa zopakuje“ (74 spinov) je celý rozdiel medzi vzorcom, ktorý si všimnete dodatočne, a predpoveďou, ktorú urobíte vopred.
Vyskúšajte si to
Spustite Demo hru na desať spinov a pozrite sa na históriu. Zvyčajne v nej bude opakovanie. Spustite ju znova. Zopakované číslo bude iné. Urobte to desaťkrát a videli ste narodeninový problémmatematikaNarodeninový problémKoľko ľudí treba, aby dvaja pravdepodobne mali narodeniny v ten istý deň, alebo koľko spinov treba, aby sa niektoré číslo pravdepodobne zopakovalo. Na kolese s 37 priehradkami stačí 8 spinov na šancu lepšiu ako vyrovnanú.Čítať celé →; urobte to tisíckrát (simulátory to zvládnu) a zmerali ste ho.
Vzorec
Otázky
Presne tak, s 37 priehradkami namiesto 365 dní. Pri narodeninách dá 50% 23 ľudí; pri kolese dá 56% 8 spinov.
50% asi po 19 spinoch. Stále bežná vec.
Nie. Tisíce spinov z jedného kolesa by to naznačiť mohli; jedno opakovanie nikdy.
Matematika pre radosť
Skúste ich najprv sami. Každé riešenie je skryté; rozbaľte ho, keď budete pripravení.
Tabuľa výsledkov pri americkom kolese ukazuje posledných 16 spinov. Aká je pravdepodobnosť, že sa na nej žiadne číslo neobjaví dvakrát?
Zobraziť riešenie
Odpoveď Asi 2,5%: zhruba 39 tabúľ zo 40 ukazuje aspoň jedno opakovanie.
Postupujte spin po spine. Prvý spin môže byť čokoľvek. Druhý sa mu musí vyhnúť: 37 šancí z 38. Tretí sa musí vyhnúť obom: 36 z 38. Šestnásty sa musí vyhnúť pätnástim číslam: 23 z 38.
Vynásobte: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Tabuľa bez opakovania je tá vzácna. Tabuľa s opakovaním o kolese nič nehovorí.
Aká je pri desiatich spinoch európskeho kolesa pravdepodobnosť, že 17 padne presne päťkrát? Že nejaké číslo, akékoľvek, padne päťkrát alebo viackrát? A že nejaké číslo padne aspoň trikrát za štyri spiny?
Zobraziť riešenie
Odpoveď 17 presne päťkrát: 1 z 315 576. Nejaké číslo päťkrát alebo viackrát: asi 1 z 8 333. Nejaké číslo trikrát alebo viackrát za štyri spiny: 1 z 349.
17 päťkrát: vyberte, ktorých päť z desiatich spinov, 252 spôsobov, každý s pravdepodobnosťou (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Spolu 1 z 315 576.
Nejaké číslo: každé z 37 čísel má pravdepodobnosť 1 z 308 325, že bude mať päť alebo viac zásahov, čo dáva 37 z 308 325, teda 1 z 8 333. Zriedkavý prípad dvoch čísel s piatimi zásahmi je započítaný dvakrát, ale jeho odčítanie pri tejto presnosti nič nezmení.
Trikrát za štyri spiny: pre jedno číslo 4 × 36 + 1 = 145 zo 37⁴ možných výsledkov; pre ktorékoľvek z 37 čísel 145/37³ = 1 z 349.
Wizard of Odds odpovedal na verzie týchto otázok pre koleso s dvoma nulamikolesoNulaJediná zelená priehradka, ktorú nepokrýva žiadna stávka na jednoduchú šancu, tucet ani stĺpec; zdroj výhody kasína. Tiež: jednoduchá nula, 0.Čítať celé →; naše čísla pre to koleso sú 1 z 359 275, 1 z 9 243 a 1 z 368. Rozdiel medzi „17“ a „nejakým číslom“ je opäť narodeninový problémmatematikaNarodeninový problémKoľko ľudí treba, aby dvaja pravdepodobne mali narodeniny v ten istý deň, alebo koľko spinov treba, aby sa niektoré číslo pravdepodobne zopakovalo. Na kolese s 37 priehradkami stačí 8 spinov na šancu lepšiu ako vyrovnanú.Čítať celé →: existuje 37 spôsobov, ako sa nechať prekvapiť.
Na odľahčenie
Niečo sa zopakuje skoro. To niečo je náhodné.
Zdroje
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. „Ask the Wizard“, otázky o rulete.