Dlhodobá konvergencia: zákon veľkých čísel v rulete
Ako sa priemer ustáli pri −2,70% a prečo to trvá dlhšie, než napovedá intuícia.
Priemerná strata na spin sa s pribúdajúcimi spinmi blíži k −1/37 a rozptyl okolo nej sa zmenšuje ako 1/√N. Po 1 000 spinoch na červenú je priemer zvyčajne do ±3% od svojej očakávanej hodnoty.
Zákon veľkých čísel
Priebežný priemer nezávislých stávok sa blíži k očakávanej hodnotematematikaOčakávaná hodnotaPriemerný výsledok na jednu stávku z dlhodobého hľadiska. Pri každej štandardnej európskej stávke −1/37 stávky.Čítať celé →. Po N spinoch na jednoduchú šancu po jednej jednotkepeniazeJednotkaZákladná stávka, v ktorej systém alebo hráč počíta. Progresie sa opisujú v jednotkách, aby platili pri akomkoľvek stole.Čítať celé → má priemerný výsledok na spin očakávanú hodnotu −1/37 a smerodajnú odchýlkumatematikaSmerodajná odchýlkaDruhá odmocnina rozptylu; typická vzdialenosť výsledku od očakávanej hodnoty.Čítať celé → 1/√N. Pri N = 100 je tento rozptyl 10% stávky, takmer štyrikrát viac než signál 2,7%. Pri N = 1 000 je to 3,2%, približne toľko ako signál. Pri N = 10 000 je to 1% a výhoda kasína je zreteľne viditeľná. Počas jedného sedenia je výhoda neviditeľná, za rok je nezameniteľná.
Čo konverguje a čo nie
Priemer na spin konverguje. Súčet nie: s rastúcim N sa vzďaľuje od nuly, v očakávaní asi o 2,7% z N, s rozptylom √N okolo toho. Hráč, ktorý odohral 10 000 spinov po $10, je v očakávaní v strate $2 700, plus mínus $1 000. Priebežný podiel červenýchstávkaČervenáStávka na jednoduchú šancu na 18 červených čísel. Po francúzsky: rouge.Čítať celé → sa už dávno ustálil blízko 48,65%; priebežný zostatok sa neustálil nikde.
- p10 −$440
- p25 −$280
- medián −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Prečo intuícia zlyháva
Ľudia čakajú, že sa výhoda kasína prejaví rýchlo, lebo 2,70% znie ako veľa, a čakajú, že sa dlhé šnúry „vyrovnajú“, lebo zákon veľkých číselmatematikaZákon veľkých číselPriemer nezávislých výsledkov konverguje k očakávanej hodnote, keď počet pokusov rastie.Čítať celé → hovorí, že priemery konvergujú. Obe intuície zle odhadujú mierku: výhoda je malá v porovnaní s rozptylommatematikaRozptylMiera toho, ako široko sa výsledky rozptyľujú okolo očakávanej hodnoty. Vysoký pri plnom čísle, nízky pri stávkach na jednoduché šance.Čítať celé → jedného spinu (σ = 1 jednotka oproti EV = 0,027), takže trvá (1/0,027)² ≈ 1 400 spinov, kým sa stane viditeľnou na úrovni jednej sigmy. A konvergencia priemeru vôbec neťahá súčet späť; iba riedi minulé výkyvy.
Konvergencia pri iných stávkach
Pri plných číslachstávkaPlné čísloJediné číslo, vypláca 35:1.Čítať celé → je σ = 5,84, takže ten istý výpočet dáva (5,84/0,027)² ≈ 47 000 spinov, kým výhoda dosiahne jednu sigmu. Hráč na plné čísla môže hrať roky bez toho, aby sa výhoda kasína v jeho vlastných záznamoch dala odlíšiť od šťastia, a pritom platí presne tých istých 2,70% ako hráč na červenú, ktorý ju uvidí v priebehu týždňov.
Dôsledok pre testovanie systémov
Kto tvrdí, že systém funguje, by to mal vedieť ukázať na 10 000 alebo viac spinoch so zdokumentovaným kladným priemerom. Pri 1 000 spinoch je kladný priemer na jednoduchej šanci pri nulovej hypotéze udalosť jedna z piatich; pri 100 spinoch je to takmer hod mincou. Simulátory na tejto stránke prebehnú 2 000 sedení vami zvolenej dĺžky za sekundu, a to je viac dôkazov než akékoľvek svedectvo.
Vzorec
Otázky
PravdepodobnosťmatematikaPravdepodobnosťMiera možnosti, že nastane určitý výsledok, od 0 do 1 alebo od 0% do 100%. Jedno číslo: 1/37 = 2,70%.Čítať celé →, že sa ešte niekedy dostanete do zisku, s hraním klesá k nule. Súčet sa bez obmedzenia posúva nadol.
Nie. Znamená, že minulé výkyvy sa stávajú menšou časťou väčšej vzorky.
Pri jednoduchej šanci asi po 10 000, kým je výhoda kasína zreteľne viditeľná. Pri plných číslach asi po 50 000.
Matematika pre radosť
Skúste ich najprv sami. Každé riešenie je skryté; rozbaľte ho, keď budete pripravení.
Dvaja priatelia hrajú 20 kôl spravodlivej hrymatematikaSpravodlivá hraHra, v ktorej žiadna strana nemá výhodu: každá stávka má očakávanú hodnotu nula.Čítať celé →, hod mincou alebo červenústávkaČervenáStávka na jednoduchú šancu na 18 červených čísel. Po francúzsky: rouge.Čítať celé → proti čiernejstávkaČiernaStávka na jednoduchú šancu na 18 čiernych čísel. Po francúzsky: noir.Čítať celé → s vrátením stávok pri nuláchkolesoNulaJediná zelená priehradka, ktorú nepokrýva žiadna stávka na jednoduchú šancu, tucet ani stĺpec; zdroj výhody kasína. Tiež: jednoduchá nula, 0.Čítať celé →, a vedú si priebežné skóre. Spočítajte kolá, počas ktorých je každý z nich vpredu (remíza sa počíta tomu, kto viedol tesne predtým). Čo je pravdepodobnejšie: že sa vedenie rozdelí 10 kôl ku 10, alebo že jeden priateľ vedie všetkých 20?
Zobraziť riešenie
Odpoveď Oveľa pravdepodobnejšie je, že jeden priateľ vedie všetkých 20 kôl: 35,2%, ak rátame ktoréhokoľvek z nich, oproti 6,1% pre rovnomerné 10 ku 10.
Pravdepodobnosť, že spravodlivé priebežné skóre je po 2k kolách vyrovnané, je u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 po 10 kolách a 0,176 po 20. Klasický výsledok, zákon arkussínusu, hovorí, že pravdepodobnosť, že jeden určený priateľ vedie presne 2k z 2n kôl, je u(2k) × u(2n − 2k).
Vedenie všetkých 20 kôl: u(20) × u(0) = 0,176 pre každého priateľa, 35,2% pre ktoréhokoľvek. Rovnomerné rozdelenie: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, najmenej pravdepodobné rozdelenie zo všetkých.
V spravodlivej hre teda vedenie zriedka mení majiteľa. Hráč, ktorý bol celý večer vpredu alebo celý večer pozadu, nevidel nič nezvyčajné a nehovorí to nič o kolese ani o zručnosti. Epstein (2013) uvádza ten istý zákon pre dlhšie hry: v polovici prípadov vedie šťastnejšia strana viac ako 85% hry.
Na odľahčenie
Priemer konverguje. Súčet jednoducho odchádza.
Zdroje
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.