Úloha: limit stola
Martingale so základom $10 pri stole s limitom $500. Ako často sa preruší, koľko pritom stratí a pomôže zvýšenie limitu?
Šesť prehier za sebou ho preruší: 1,8% na cyklus, asi 60% sedení so 100 spinmi. Prerušenie stojí $630. Zvýšenie limitu na $5 000 urobí prerušenie zriedkavejším (0,25% na cyklus) a väčším ($5 110). Očakávaná strata na stavený dolár je 2,70% pri akomkoľvek limite.
Úloha
Hráč stavia $10 na červenústávkaČervenáStávka na jednoduchú šancu na 18 červených čísel. Po francúzsky: rouge.Čítať celé → a po každej prehre stávku zdvojnásobí, po výhre začína odznova. Maximum stola je $500. (a) Koľko prehier za sebou preruší progresiustratégiaProgresiaKaždé pravidlo, ktoré mení stávku podľa predchádzajúcich výsledkov. Záporné progresie ju zvyšujú po prehrách, kladné po výhrach.Čítať celé →? (b) Aká je pravdepodobnosťmatematikaPravdepodobnosťMiera možnosti, že nastane určitý výsledok, od 0 do 1 alebo od 0% do 100%. Jedno číslo: 1/37 = 2,70%.Čítať celé → na cyklus? (c) Čo sa pri prerušení stratí? (d) Ako zmení odpovede limit $5 000? (e) Urobí nejaký limit systém ziskovým?
Riešenia (a)–(c)
Stávky: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Siedma by bola 640 > 500, takže šesť prehier progresiu preruší. (b) p(prehra) = 19/37 na červenej; (19/37)⁶ = 0,0183, asi 1,8% na cyklus. Cyklus trvá v priemere asi dva spiny, takže sedenie so 100 spinmi má zhruba 50 cyklov a p(aspoň jedno prerušenie) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, čo je 63 základných jednotiekpeniazeJednotkaZákladná stávka, v ktorej systém alebo hráč počíta. Progresie sa opisujú v jednotkách, aby platili pri akomkoľvek stole.Čítať celé →, oproti $10, ktoré sa cyklus snažil vyhrať.
Riešenie (d)
Pri $5 000: povolené sú stávky do 2 560; desiata stávka, 5 120, sa odmietne. Deväť prehier progresiu preruší: (19/37)⁹ ≈ 0,25% na cyklus, asi 11% sedení so 100 spinmi. Strata pri prerušení: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Hráč si kúpil zriedkavejšiu katastrofu za cenu väčšej. Počas mnohých sedení je očakávaná cena prerušení p × strata ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 na cyklus pri limite $500 a 0,0025 × 5 110 = $12,8 pri $5 000; až na zaokrúhlenie je to to isté číslo a je to očakávaná stratamatematikaOčakávaná strataOčakávaná hodnota krát celková stavená suma; priemerná suma stratená za sedenie alebo za obdobie.Čítať celé → cyklu mínus $10, ktoré zarobia výherné cykly.
Riešenie (e)
Nie. Očakávaná strata na cyklus = (očakávaná celková stávka v cykle) / 37, pri akomkoľvek limite, pretože každá stávka je −1/37 zo seba samej. Limit iba rozhoduje, ako sa strata rozloží medzi mnoho malých výhier a málo veľkých strát. Bez limitu a s nekonečným bankrollompeniazeBankrollCelková suma vyhradená na hru. Správa bankrollu znamená rozhodnúť, koľko z nej riskovať na jednu stávku a na jedno sedenie.Čítať celé → (peniazmi vyhradenými na hru) by progresia „fungovala“ v tom zmysle, že by sa nikdy neprerušila, a zároveň by stavila neobmedzenú sumu s očakávanou stratou 2,70% z tejto neobmedzenej sumy. Limit stolastôlLimit stolaNajnižšia a najvyššia povolená stávka. Maximum je to, čo zastaví progresie so zdvojnásobovaním.Čítať celé → nie je to, čo bráni systému MartingalestratégiaMartingaleProgresia, ktorá po každej prehre stávku zdvojnásobí. Čo robí a čo nerobí, nájdete v sekcii Stratégie.Čítať celé → fungovať. Je to aritmetika.
Dva skutočné stoly
Thorpov príklad je stôl s minimom $1 a maximom $1 000, pri ktorom hráč dúfa, že po dolári vyhrá $30 na večeru. Stávky 1, 2, 4 … 512 umožňujú desať stávok, takže desať prehier za sebou progresiu preruší: raz za 785 cyklov na európskom kolese (raz za 613 na americkom), za cenu $1 023. Tridsať cyklov sa podarí všetky v 96,2% prípadov. Zvyšných 3,8% stratí asi $1 000 a priemerný výsledok večera je −$9,17, čo je presne 1/37 z $339, ktoré tridsať cyklov v priemere stavia. Stôl s minimom $5 a maximom $2 000 sa nelíši: stávky do $1 280 umožňujú deväť stávok a prerušenie príde raz za 403 cyklov na európskom kolese (raz za 323 na americkom) a stojí $2 555.
Bohatý hráč
Dajte progresii namiesto nízkeho limitu hlboký bankroll: 1 000 jednotiek, základ jedna jednotka a 1 000 spinov na červenú, s návratom na jednu jednotku vždy, keď by ďalšie zdvojnásobenie bolo viac, než zostáva. Simulovali sme milión takých večerov. Na európskom kolese 52% skončí v zisku, 21% stratí všetko a priemerný výsledok je −124 jednotiek. Aj v hre bez nulykolesoNulaJediná zelená priehradka, ktorú nepokrýva žiadna stávka na jednoduchú šancu, tucet ani stĺpec; zdroj výhody kasína. Tiež: jednoduchá nula, 0.Čítať celé →, kde je každá stávka spravodlivá, by v zisku skončilo iba asi 60%. Bežný večer je malá výhra; priemer platia večery, ktoré skončia na nule.
Ponaučenie
Kasína stanovujú limity, aby obmedzili vlastný rozptylmatematikaRozptylMiera toho, ako široko sa výsledky rozptyľujú okolo očakávanej hodnoty. Vysoký pri plnom čísle, nízky pri stávkach na jednoduché šance.Čítať celé →, nie aby porazili systémy. Porážka systému Martingale je vedľajší účinok, ktorý im je vhod, a aritmetika by ho porazila tak či tak. Hráč, ktorý si myslí, že problémom je limit, našiel útes a pomýlil si ho so svahom.
Vzorec
Otázky
Umožní vám dožiť sa vyššieho limitu, kde je prerušenie zriedkavejšie a väčšie. Očakávaná strata na dolár sa nemení.
Stávky 10, 30, 70, 150, 310: limit $500 sa dosiahne po piatich prehrách a prerušenie stojí $570. Rovnakých 2,70%.
Aby jeden hráč nemohol staviť viac, než dokáže rezerva kasína pohodlne vyplatiť. Riadenie rozptylu.
Matematika pre radosť
Skúste ich najprv sami. Každé riešenie je skryté; rozbaľte ho, keď budete pripravení.
Systém MartingalestratégiaMartingaleProgresia, ktorá po každej prehre stávku zdvojnásobí. Čo robí a čo nerobí, nájdete v sekcii Stratégie.Čítať celé → začína so $100 na červenústávkaČervenáStávka na jednoduchú šancu na 18 červených čísel. Po francúzsky: rouge.Čítať celé → a dovolí si najviac n stávok v cykle: po n prehrách za sebou to vzdá a začne odznova. Napíšte priemerný výsledok jedného cyklu ako vzorec v n a vypočítajte ho pre 5, 6 a 7 stávok na európskom kolese.
Zobraziť riešenie
Odpoveď Priemer je 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 pre 5 stávok, −$17,35 pre 6 a −$20,52 pre 7. Viac povolených stávok priemerný cyklus zhoršuje, nie zlepšuje.
Cyklus vyhrá $100, ak neprehrajú všetky n stávky, čo sa stane s pravdepodobnosťou qⁿ, kde q = 19/37. Keď všetky prehrajú, stávky 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ dajú spolu 100 × (2ⁿ − 1). Priemer je teda 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Tu je 2q = 38/37, o niečo viac ako 1, takže (2q)ⁿ s n rastie a priemer klesá: n = 5 dáva 1,1426 a −$14,26; n = 6 dáva 1,1735 a −$17,35; n = 7 dáva 1,2052 a −$20,52. Dlhší rebrík prehráva menej často, v 3,6%, 1,8% a 0,9% cyklov, ale každá prehra je dvakrát väčšia a v každom cykle prejde cez stôl viac peňazí, s 2,70% z každej stávky.
Na americkom kolese je 2q = 40/38 a čísla sú −$29,24, −$36,04 a −$43,20 (Taylor, 2021). V hre bez nulykolesoNulaJediná zelená priehradka, ktorú nepokrýva žiadna stávka na jednoduchú šancu, tucet ani stĺpec; zdroj výhody kasína. Tiež: jednoduchá nula, 0.Čítať celé → je 2q = 1 a každý cyklus má v priemere presne nulu, nech je rebrík akokoľvek dlhý.
„Veľký Martingale“ po prehre zdvojnásobí stávku a pridá jednu jednotkupeniazeJednotkaZákladná stávka, v ktorej systém alebo hráč počíta. Progresie sa opisujú v jednotkách, aby platili pri akomkoľvek stole.Čítať celé →, takže stávky idú 1, 3, 7, 15, 31 … O koľko ste v zisku, keď prvá výhra príde pri 1., 2., 3. alebo k-tej stávke? Pri jednotke $10 a maxime $500, ako často sa cyklus preruší a koľko cyklus v priemere stojí?
Zobraziť riešenie
Odpoveď Výhra pri k-tej stávke vás nechá o k jednotiek v zisku: +1, +2, +3 a tak ďalej. Pri $10 a $500 sa cyklus preruší po piatich prehrách, v 3,57% cyklov, s výsledkom −$570. V priemere cyklus prehrá $2,32 zo stavených $85,73: 2,70%.
k-ta stávka je 2ᵏ − 1 jednotiek: 1, 3, 7, 15, 31. Prvých k − 1 stávok dá spolu 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Výhra pri k-tej stávke vyplatí 2ᵏ − 1, takže cyklus skončí (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k jednotiek v zisku: jedna jednotka navyše za každú prehru pred výhrou.
Pri $10 za jednotku sú stávky $10, $30, $70, $150 a $310; ďalšia, $630, je nad maximom $500. Päť prehier za sebou, (19/37)⁵ = 3,57%, stojí 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Priemer: výhry prinesú $10 × k s pravdepodobnosťou (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 pre k = 1 až 5 a prerušenie vezme $570 s pravdepodobnosťou 3,57%; spolu −$2,32. Stavené peniaze sú v priemere $85,73 na cyklus a 2,32/85,73 = 2,70%. Obyčajný Martingale pri tom istom stole sa preruší po šiestich prehrách, v 1,83% cyklov, s výsledkom −$630, a prehrá $1,74 zo stavených $64,20: opäť 2,70%.
Hráč plánuje Martingale na červenú s prvou stávkou $1 pri stole s limitom $1 000, takže je možných desať stávok: $1, $2, $4 a tak ďalej až po $512. Ako často cyklus prehrá všetkých desať, ako dlho to v priemere trvá a ako často sa večer s 200 stávkami takto skončí?
Zobraziť riešenie
Odpoveď Cyklus prehrá všetkých desať asi raz zo 784, čo stojí $1 023. To je v priemere asi 1 600 stávok a večer s 200 stávkami narazí na stenu asi v 11% prípadov. Cyklus aj tak v priemere prehrá $0,31 zo stavených $11,31: 2,70%.
Stávka na červenú prehrá s pravdepodobnosťou 19/37, vrátane nuly. Desať za sebou: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, asi 1 zo 784. Stávky 1 + 2 + 4 + … + 512 dajú spolu $1 023.
Cyklus trvá v priemere 2,05 stávky, takže 784 cyklov trvá asi 1 600 stávok. Ak rátame spin po spine, šnúra desiatich prehier sa niekde v 200 stávkach objaví v 11,3% prípadov.
Medzi katastrofami hráč vyhrá $1 za cyklus: asi $783 pred tou zlou, potom −$1 023, za celý úsek asi −$240. Na cyklus: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Stavené peniaze na cyklus: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. A −0,31/11,31 = −2,70%.
Porovnajte s prvou stávkou $10 pri limite $500, šesť stávok: stena príde raz za 55 cyklov a večer s 200 stávkami na ňu narazí v 84% prípadov. Vyšší limit robí krach zriedkavejším a väčším, nie lacnejším.
Na odľahčenie
Zriedkavejšie a väčšie, pri každom limite. Súčin je konštantný.
Zdroje
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. „Optimal gambling systems for favorable games.“
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.